Maatemática: Fatoração

fatoração é a transformação da soma e/ou subtração de vários termos em um produto de diversos fatores.
Vejamos alguns exemplos onde temos alguns dos principais tipos de fatoração:















Na sequência vemos como tratar cada um destes tipos de fatoração em particular.

A fatoração é um recurso que utilizamos na simplificação de sentenças matemáticas. Quando for o caso, podemos utilizá-la na simplificação de uma fração ou de uma equação, por exemplo.

Fator Comum: ax + bx = x(a + b)

A forma mais básica de fatoração é a colocação de fatores comuns em evidência.

No exemplo abaixo o fator 5 é comum a todos os termos e por isto é possível colocá-lo em evidência:



Colocamos o fator 5 em evidência o destacando e o multiplicando pela a expressão quociente da divisão da sentença original por tal fator, inserida entre parênteses:

Exemplos

Agrupamento: ax + bx + ay + by = (a + b)(x + y)

No tipo de fatoração por agrupamento não temos um fator que é comum a todos os termos, no entanto temos fatores que são comuns a alguns termos e outros fatores que são comuns a outros termos.

Vejamos o exemplo abaixo:



Note que o fator x é comum aos dois primeiros termos, assim como o fator y é comum aos dois últimos termos, então podemos colocá-los em evidência:



Veja que ainda temos o fator (4 + 6) em comum e que também pode ser colocado em evidência:



Assim sendo:



Obviamente, como mostrado abaixo, podemos continuar os cálculos somando 4 com 6, mas o foco aqui é a fatoração em si:



No lugar dos fatores x e y, poderíamos evidenciar os fatores 4 e 6, visto que ambos são comuns ao fatores 4x e 4y, no caso do 4 e 6x e 6y, no caso do 6:



E ao colocarmos o fator (x + y) em evidência, chegamos ao mesmo resultado obtido anteriormente, apenas com uma mudança na ordem dos fatores, que como sabemos não altera o produto:

Exemplos

Diferença de Dois Quadrados: a² - b² = (a + b)(a - b)

Este os próximos quatro tipos de fatoração que veremos estão relacionados aos produtos notáveis. Aos estudá-los vimos que o produto da soma pela diferença de dois termos nos leva à diferença de dois quadrados, então podemos utilizar de forma inversa este conhecimento na fatoração da diferença de dois quadrados.

Vejamos este exemplo na sequência:



Visto que a² - b² = (a + b)(a - b), podemos realizar a fatoração como a seguir:



Tal fatoração foi realizada se encontrando o valor de a e b, que são respectivamente a raiz quadrada do primeiro e do segundo termo e então os substituindo em (a + b)(a - b).

Logo:

Exemplos

Trinômio Quadrado Perfeito - Soma: a² + 2ab + b² = (a + b)²

Quando desenvolvemos o quadrado da soma de dois termos chegamos a um trinômio quadrado perfeito, que é o que demonstra a sentença acima, só que temos os membros em ordem inversa. Então o quadrado da soma de dois termos é a forma fatorada de um trinômio quadrado perfeito.

Como fatorar o trinômio abaixo?



Se o pudermos escrever como a² + 2ab + b² estaremos diante de um trinômio quadrado perfeito, que fatorado é igual a (a + b)².

Obtemos o valor de a extraindo a raiz quadrada de x² no primeiro termo e o valor de b extraindo a raiz quadrada de 49 no terceiro termo, portanto a = x e b = 7.

Ao substituirmos a por x e b por 7 nos termos do trinômio a² + 2ab + b² devemos chegar a uma variação do trinômio original:



Realizando a substituição de a e b, vamos então analisar a² + 2ab + b² termo a termo para verificar se o polinômio obtido é igual ao polinômio original.

Quando substituímos a por x em a² chegamos ao x² original.

Ao substituirmos a por x e b por 7 em 2ab obtivemos 2 _^. x _^. 7, equivalente ao 14x original.

E finalmente substituindo b por 7 em b² chegamos a 7², equivalente ao 49 do terceiro termo do polinômio original.

Como foi possível escrever x² + 14x + 49 na forma a² + 2ab + b², então estamos mesmo diante de um trinômio quadrado perfeito que pode ser fatorado assim:



Portanto:



Se o polinômio em questão não fosse um trinômio quadrado perfeito, não poderíamos realizar a fatoração desta forma, visto que a conversão de x² + 14x + 49 em a² + 2ab + b² levaria a um polinômio diferente do original. Por exemplo, se o trinômio fosse x² + 15x + 49, o segundo termo 15x iria diferir do segundo termo obtido via substituição de a e b que é 14x, portanto não teríamos um trinômio quadrado perfeito.

Note que realizamos uma verificação termo a termo para verificar se realmente tínhamos um trinômio quadrado perfeito, mas você não precisará fazer tal verificação quando no enunciado da questão estiver explícito que os polinômios realmente são trinômios quadrados perfeitos.

Exemplos

Trinômio Quadrado Perfeito - Diferença: a² - 2ab + b² = (a - b)²

Assim como o caso da soma visto acima, de forma análoga temos o caso da diferença.

Vejamos este outro trinômio:



Como 2x é a raiz quadrada de 4x², do primeiro termo, e 5 é a raiz quadrada de 25 do terceiro termo, podemos reescrevê-lo como a seguir, substituindo a por 2x e b por 5 temos:



Como os respectivos termos do polinômio original e do polinômio acima são iguais, temos um trinômio quadrado perfeito:



Portanto, temos realmente um trinômio quadrado perfeito que pode ser escrito na forma a² - 2ab + b² = (a - b)²:



Logo:

Exemplos

Cubo Perfeito - Soma: a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³

Na sentença acima temos um polinômio e a sua forma fatorada, que nada mais é que o cubo da soma de dois termos.

Se temos um polinômio a³ + 3a²b + 3ab² + b³ podemos fatorá-lo como (a + b)³.

Vamos analisar o polinômio abaixo:



Nosso objetivo é escrevê-lo na forma a³ + 3a²b + 3ab² + b³, substituindo a por 7 que é a raiz cúbica de 343 e substituindo b por 3y que é a raiz cúbica de 27y³:



Como visto nos dois tipos anteriores, também neste tipo e no próximo, se não estiver claro no enunciado da questão que realmente se trata de um cubo perfeito, precisamos verificar se todos os membros do polinômio original são iguais aos termos do polinômio obtido via substituição de a e b em a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Como os respectivos termos do polinômio original e do polinômio acima são iguais, temos de fato um cubo perfeito:



Então temos um cubo perfeito que é fatorado como:

Exemplos

Cubo Perfeito - Diferença: a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = (a - b)³

A forma fatorada do polinômio no primeiro membro da sentença acima é o cubo da diferença de dois termos.

O polinômio a³ - 3a²b + 3ab² - b³ é fatorado como (a - b)³.

Vamos fatorar a sentença abaixo de forma análoga a que fizemos no tipo de fatoração anterior:



Extraímos a raiz cúbica de 8a³ que é 2a e de 343b³ que é 7b e então substituímos a e b respectivamente por 2a e 7b em a³ - 3a²b + 3ab² - b³:



Como os respectivos termos do polinômio original e do polinômio acima são iguais, temos um cubo perfeito:



Então:

Exemplos

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Matemática: Produtos Notáveis

Considerações iniciais

Os conceitos sobre os produtos notáveis merecem muita atenção, pois seu uso facilita cálculos, reduz o tempo de resolução e agiliza o aprendizado. O conhecimento dessa ferramenta não implica dizer que não necessitamos saber o desenvolvimento do cálculo proposto, apenas que temos mais caminhos convergentes à solução final. Utilizamos o termo notável para apontar sua importância, sua notabilidade e sua carência de atenção.
Os gregos, na antiguidade, faziam uso de procedimentos algébricos e geométricos exatamente iguais aos produtos notáveis modernos. É importante destacar que o uso de sua maioria foi atribuído aos pitagóricos e estão registrados na obra de Euclides de Alexandria Elementos na forma de representações geométricas.
Ao lidarmos com operações algébricas, perceberemos que alguns polinômios aparecem frequentemente e, ainda, exibem certa regularidade. Esses são os produtos notáveis. Aqui estudaremos o quadrado da soma de dois termos, o quadrado da diferença de dois termos, o produto da soma pela diferença de dois temos, o cubo da soma de dois termos e, por fim, o cubo da diferença de dois termos. Vamos à explanação de cada um deles.
1. O quadrado da soma de dois termos
Verifiquem a representação e utilização da propriedade da potenciação em seu desenvolvimento.

(a + b)² = (a + b) . (a + b)

Onde a é o primeiro termo e b é o segundo.

Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, teremos:

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplos

2. O quadrado da diferença de dois termos
Seguindo o critério do item anterior, temos:

(a - b)² = (a - b) . (a - b)

Onde a é o primeiro termo e b é o segundo.

Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, teremos:

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplos:

3. O produto da soma pela diferença de dois termos
Se tivermos o produto da soma pela diferença de dois termos, poderemos transformá-lo numa diferença de quadrados.

O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.

Exemplos

• (4c + 3d).(4c – 3d) = (4c)² – (3d)² = 16c² – 9d²
• (x/2 + y).(x/2 – y) = (x/2)² – y² = x²/4 – y²
• (m + n).(m – n) = m² – n²

4. O cubo da soma de dois termos
Consideremos o caso a seguir:

(a + b)³ = (a + b).(a + b)² → potência de mesma base.

(a + b).(a² + 2ab + b²) → (a + b)²

Aplicando a propriedade distributiva como nos casos anteriores, teremos:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo.

Exemplos:

• (2x + 2y)³ = (2x)³ + 3.(2x)².(2y) + 3.(2x).(2y)² + (2y)³ = 8x³ + 24x²y + 24xy² + 8y³
• (w + 3z)³ = w³ + 3.(w²).(3z) + 3.w.(3z)² + (3z)³ = w³ + 9w²z + 27wz² + 27z³
• (m + n)³ = m³ + 3m²n + 3mn² + n³

5. O cubo da diferença de dois termos
Acompanhem o caso seguinte:

(a – b)³ = (a - b).(a – b)² → potência de mesma base.

(a – b).(a² – 2ab + b²) → (a - b)²

Aplicando a propriedade distributiva como nos casos anteriores, teremos:

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos três vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo.

Exemplos

• (2 – y)³ = 2³ – 3.(2²).y + 3.2.y² – y³ = 8 – 12y + 6y² – y³ ou y³– 6y² + 12y – 8
• (2w – z)³ = (2w)³ – 3.(2w)².z + 3.(2w).z² – z³ = 8w³ – 12w²z + 6wz² – z³
• (c – d)³ = c³ – 3c²d + 3cd² – d³

Considerações finais
Utilizando os produtos notáveis, certamente aceleraremos o cálculo, permitindo o progresso em temas posteriores da matemática. A propriedade distributiva da multiplicação foi determinante para se chegar ao desenvolvimento dos produtos levando-os a sua fase reduzida. Jamais deveremos deixar de buscar conhecimentos mais profundos, como demonstrações de teoremas a fim de compreendermos melhor os caminhos trilhados para se chegar às pequenas fórmulas, tão úteis, como as conhecemos hoje.

Guerra de Secessão

Introdução
A Guerra de Secessão foi um conflito militar que ocorreu nos Estados Unidos, entre os anos de 1861 e 1865. De lado um ficaram os estados do sul contra os estados do norte.

Causas:

Os estados do sul tinham uma economia baseada no latifúndio escravista e na produção, principalmente de algodão, voltada para a exportação. Enquanto isso, os estados do norte defendiam a abolição da escravidão e possuíam suas economias baseadas na indústria. Esta diferença de interesses deflagrou o conflito.

Guerra

O conflito teve inicio em 1861 através de ações militares do sul. Com duração de cinco anos, a guerra provocou a morte de aproximadamente 600 mil pessoas. Os estados do norte, mais ricos e preparados militarmente, venceram e impuseram seus interesses sobre o país.

Consequências

- A escravidão foi abolida, atendendo aos interesses dos estados do norte. Apesar disso, os negros não tiveram nenhum programa governamental que lhes garantissem a integração social. Após a liberdade, foram marginalizados pela sociedade.
- A região sul foi ocupada militarmente até o ano de 1877.
- O processo de industrialização do norte intensificou-se ainda mais, gerando mais riqueza na região. Por outro lado, o sul passou por uma crise, perdendo influência política.

http://www.suapesquisa.com/historia/guerra_de_secessao.htm