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Fatoração...
Fator Comum em evidencia
Fatoração por agrupamento:
Diferença de dois Quadrados
Fatoração do Trinomio quadrado perfeito
quarta-feira, 10 de setembro de 2014
terça-feira, 9 de setembro de 2014
Maatemática: Fatoração
fatoração é a transformação da soma e/ou subtração de
vários termos em um produto de diversos fatores.
Vejamos alguns exemplos onde temos alguns dos principais tipos de fatoração:
Na sequência vemos como tratar cada um destes tipos de fatoração em particular.
A fatoração é um recurso que utilizamos na simplificação de sentenças matemáticas. Quando for o caso, podemos utilizá-la na simplificação de uma fração ou de uma equação, por exemplo.
A forma mais básica de fatoração é a colocação de fatores comuns em evidência.
No exemplo abaixo o fator 5 é comum a todos os termos e por isto é possível colocá-lo em evidência:
Colocamos o fator 5 em evidência o destacando e o multiplicando pela a expressão quociente da divisão da sentença original por tal fator, inserida entre parênteses:
No tipo de fatoração por agrupamento não temos um fator que é comum a todos os termos, no entanto temos fatores que são comuns a alguns termos e outros fatores que são comuns a outros termos.
Vejamos o exemplo abaixo:
Note que o fator x é comum aos dois primeiros termos, assim como o fator y é comum aos dois últimos termos, então podemos colocá-los em evidência:
Veja que ainda temos o fator (4 + 6) em comum e que também pode ser colocado em evidência:
Assim sendo:
Obviamente, como mostrado abaixo, podemos continuar os cálculos somando 4 com 6, mas o foco aqui é a fatoração em si:
No lugar dos fatores x e y, poderíamos evidenciar os fatores 4 e 6, visto que ambos são comuns ao fatores 4x e 4y, no caso do 4 e 6x e 6y, no caso do 6:
E ao colocarmos o fator (x + y) em evidência, chegamos ao mesmo resultado obtido anteriormente, apenas com uma mudança na ordem dos fatores, que como sabemos não altera o produto:
Este os próximos quatro tipos de fatoração que veremos estão relacionados aos produtos notáveis. Aos estudá-los vimos que o produto da soma pela diferença de dois termos nos leva à diferença de dois quadrados, então podemos utilizar de forma inversa este conhecimento na fatoração da diferença de dois quadrados.
Vejamos este exemplo na sequência:
Visto que a2 - b2 = (a + b)(a - b), podemos realizar a fatoração como a seguir:
Tal fatoração foi realizada se encontrando o valor de a e b, que são respectivamente a raiz quadrada do primeiro e do segundo termo e então os substituindo em (a + b)(a - b).
Logo:
Quando desenvolvemos o quadrado da soma de dois termos chegamos a um trinômio quadrado perfeito, que é o que demonstra a sentença acima, só que temos os membros em ordem inversa. Então o quadrado da soma de dois termos é a forma fatorada de um trinômio quadrado perfeito.
Como fatorar o trinômio abaixo?
Se o pudermos escrever como a2 + 2ab + b2 estaremos diante de um trinômio quadrado perfeito, que fatorado é igual a (a + b)2.
Obtemos o valor de a extraindo a raiz quadrada de x2 no primeiro termo e o valor de b extraindo a raiz quadrada de 49 no terceiro termo, portanto a = x e b = 7.
Ao substituirmos a por x e b por 7 nos termos do trinômio a2 + 2ab + b2 devemos chegar a uma variação do trinômio original:
Realizando a substituição de a e b, vamos então analisar a2 + 2ab + b2 termo a termo para verificar se o polinômio obtido é igual ao polinômio original.
Quando substituímos a por x em a2 chegamos ao x2 original.
Ao substituirmos a por x e b por 7 em 2ab obtivemos 2 . x . 7, equivalente ao 14x original.
E finalmente substituindo b por 7 em b2 chegamos a 72, equivalente ao 49 do terceiro termo do polinômio original.
Como foi possível escrever x2 + 14x + 49 na forma a2 + 2ab + b2, então estamos mesmo diante de um trinômio quadrado perfeito que pode ser fatorado assim:
Portanto:
Se o polinômio em questão não fosse um trinômio quadrado perfeito, não poderíamos realizar a fatoração desta forma, visto que a conversão de x2 + 14x + 49 em a2 + 2ab + b2 levaria a um polinômio diferente do original. Por exemplo, se o trinômio fosse x2 + 15x + 49, o segundo termo 15x iria diferir do segundo termo obtido via substituição de a e b que é 14x, portanto não teríamos um trinômio quadrado perfeito.
Note que realizamos uma verificação termo a termo para verificar se realmente tínhamos um trinômio quadrado perfeito, mas você não precisará fazer tal verificação quando no enunciado da questão estiver explícito que os polinômios realmente são trinômios quadrados perfeitos.
Assim como o caso da soma visto acima, de forma análoga temos o caso da diferença.
Vejamos este outro trinômio:
Como 2x é a raiz quadrada de 4x2, do primeiro termo, e 5 é a raiz quadrada de 25 do terceiro termo, podemos reescrevê-lo como a seguir, substituindo a por 2x e b por 5 temos:
Como os respectivos termos do polinômio original e do polinômio acima são iguais, temos um trinômio quadrado perfeito:
Portanto, temos realmente um trinômio quadrado perfeito que pode ser escrito na forma a2 - 2ab + b2 = (a - b)2:
Logo:
Na sentença acima temos um polinômio e a sua forma fatorada, que nada mais é que o cubo da soma de dois termos.
Se temos um polinômio a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 podemos fatorá-lo como (a + b)3.
Vamos analisar o polinômio abaixo:
Nosso objetivo é escrevê-lo na forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, substituindo a por 7 que é a raiz cúbica de 343 e substituindo b por 3y que é a raiz cúbica de 27y3:
Como visto nos dois tipos anteriores, também neste tipo e no próximo, se não estiver claro no enunciado da questão que realmente se trata de um cubo perfeito, precisamos verificar se todos os membros do polinômio original são iguais aos termos do polinômio obtido via substituição de a e b em a3 + 3a2b + 3ab2 + b3. Como os respectivos termos do polinômio original e do polinômio acima são iguais, temos de fato um cubo perfeito:
Então temos um cubo perfeito que é fatorado como:
A forma fatorada do polinômio no primeiro membro da sentença acima é o cubo da diferença de dois termos.
O polinômio a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 é fatorado como (a - b)3.
Vamos fatorar a sentença abaixo de forma análoga a que fizemos no tipo de fatoração anterior:
Extraímos a raiz cúbica de 8a3 que é 2a e de 343b3 que é 7b e então substituímos a e b respectivamente por 2a e 7b em a3 - 3a2b + 3ab2 - b3:
Como os respectivos termos do polinômio original e do polinômio acima são iguais, temos um cubo perfeito:
Então:
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http://www.matematicadidatica.com.br/Fatoracao.aspx
Vejamos alguns exemplos onde temos alguns dos principais tipos de fatoração:
Na sequência vemos como tratar cada um destes tipos de fatoração em particular.
A fatoração é um recurso que utilizamos na simplificação de sentenças matemáticas. Quando for o caso, podemos utilizá-la na simplificação de uma fração ou de uma equação, por exemplo.
Fator Comum: ax + bx = x(a + b)
A forma mais básica de fatoração é a colocação de fatores comuns em evidência.
No exemplo abaixo o fator 5 é comum a todos os termos e por isto é possível colocá-lo em evidência:
Colocamos o fator 5 em evidência o destacando e o multiplicando pela a expressão quociente da divisão da sentença original por tal fator, inserida entre parênteses:
Exemplos
Agrupamento: ax + bx + ay + by = (a + b)(x + y)
No tipo de fatoração por agrupamento não temos um fator que é comum a todos os termos, no entanto temos fatores que são comuns a alguns termos e outros fatores que são comuns a outros termos.
Vejamos o exemplo abaixo:
Note que o fator x é comum aos dois primeiros termos, assim como o fator y é comum aos dois últimos termos, então podemos colocá-los em evidência:
Veja que ainda temos o fator (4 + 6) em comum e que também pode ser colocado em evidência:
Assim sendo:
Obviamente, como mostrado abaixo, podemos continuar os cálculos somando 4 com 6, mas o foco aqui é a fatoração em si:
No lugar dos fatores x e y, poderíamos evidenciar os fatores 4 e 6, visto que ambos são comuns ao fatores 4x e 4y, no caso do 4 e 6x e 6y, no caso do 6:
E ao colocarmos o fator (x + y) em evidência, chegamos ao mesmo resultado obtido anteriormente, apenas com uma mudança na ordem dos fatores, que como sabemos não altera o produto:
Exemplos
Diferença de Dois Quadrados: a2 - b2 = (a + b)(a - b)
Este os próximos quatro tipos de fatoração que veremos estão relacionados aos produtos notáveis. Aos estudá-los vimos que o produto da soma pela diferença de dois termos nos leva à diferença de dois quadrados, então podemos utilizar de forma inversa este conhecimento na fatoração da diferença de dois quadrados.
Vejamos este exemplo na sequência:
Visto que a2 - b2 = (a + b)(a - b), podemos realizar a fatoração como a seguir:
Tal fatoração foi realizada se encontrando o valor de a e b, que são respectivamente a raiz quadrada do primeiro e do segundo termo e então os substituindo em (a + b)(a - b).
Logo:
Exemplos
Trinômio Quadrado Perfeito - Soma: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Quando desenvolvemos o quadrado da soma de dois termos chegamos a um trinômio quadrado perfeito, que é o que demonstra a sentença acima, só que temos os membros em ordem inversa. Então o quadrado da soma de dois termos é a forma fatorada de um trinômio quadrado perfeito.
Como fatorar o trinômio abaixo?
Se o pudermos escrever como a2 + 2ab + b2 estaremos diante de um trinômio quadrado perfeito, que fatorado é igual a (a + b)2.
Obtemos o valor de a extraindo a raiz quadrada de x2 no primeiro termo e o valor de b extraindo a raiz quadrada de 49 no terceiro termo, portanto a = x e b = 7.
Ao substituirmos a por x e b por 7 nos termos do trinômio a2 + 2ab + b2 devemos chegar a uma variação do trinômio original:
Realizando a substituição de a e b, vamos então analisar a2 + 2ab + b2 termo a termo para verificar se o polinômio obtido é igual ao polinômio original.
Quando substituímos a por x em a2 chegamos ao x2 original.
Ao substituirmos a por x e b por 7 em 2ab obtivemos 2 . x . 7, equivalente ao 14x original.
E finalmente substituindo b por 7 em b2 chegamos a 72, equivalente ao 49 do terceiro termo do polinômio original.
Como foi possível escrever x2 + 14x + 49 na forma a2 + 2ab + b2, então estamos mesmo diante de um trinômio quadrado perfeito que pode ser fatorado assim:
Portanto:
Se o polinômio em questão não fosse um trinômio quadrado perfeito, não poderíamos realizar a fatoração desta forma, visto que a conversão de x2 + 14x + 49 em a2 + 2ab + b2 levaria a um polinômio diferente do original. Por exemplo, se o trinômio fosse x2 + 15x + 49, o segundo termo 15x iria diferir do segundo termo obtido via substituição de a e b que é 14x, portanto não teríamos um trinômio quadrado perfeito.
Note que realizamos uma verificação termo a termo para verificar se realmente tínhamos um trinômio quadrado perfeito, mas você não precisará fazer tal verificação quando no enunciado da questão estiver explícito que os polinômios realmente são trinômios quadrados perfeitos.
Exemplos
Trinômio Quadrado Perfeito - Diferença: a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Assim como o caso da soma visto acima, de forma análoga temos o caso da diferença.
Vejamos este outro trinômio:
Como 2x é a raiz quadrada de 4x2, do primeiro termo, e 5 é a raiz quadrada de 25 do terceiro termo, podemos reescrevê-lo como a seguir, substituindo a por 2x e b por 5 temos:
Como os respectivos termos do polinômio original e do polinômio acima são iguais, temos um trinômio quadrado perfeito:
Portanto, temos realmente um trinômio quadrado perfeito que pode ser escrito na forma a2 - 2ab + b2 = (a - b)2:
Logo:
Exemplos
Cubo Perfeito - Soma: a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
Na sentença acima temos um polinômio e a sua forma fatorada, que nada mais é que o cubo da soma de dois termos.
Se temos um polinômio a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 podemos fatorá-lo como (a + b)3.
Vamos analisar o polinômio abaixo:
Nosso objetivo é escrevê-lo na forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, substituindo a por 7 que é a raiz cúbica de 343 e substituindo b por 3y que é a raiz cúbica de 27y3:
Como visto nos dois tipos anteriores, também neste tipo e no próximo, se não estiver claro no enunciado da questão que realmente se trata de um cubo perfeito, precisamos verificar se todos os membros do polinômio original são iguais aos termos do polinômio obtido via substituição de a e b em a3 + 3a2b + 3ab2 + b3. Como os respectivos termos do polinômio original e do polinômio acima são iguais, temos de fato um cubo perfeito:
Então temos um cubo perfeito que é fatorado como:
Exemplos
Cubo Perfeito - Diferença: a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3
A forma fatorada do polinômio no primeiro membro da sentença acima é o cubo da diferença de dois termos.
O polinômio a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 é fatorado como (a - b)3.
Vamos fatorar a sentença abaixo de forma análoga a que fizemos no tipo de fatoração anterior:
Extraímos a raiz cúbica de 8a3 que é 2a e de 343b3 que é 7b e então substituímos a e b respectivamente por 2a e 7b em a3 - 3a2b + 3ab2 - b3:
Como os respectivos termos do polinômio original e do polinômio acima são iguais, temos um cubo perfeito:
Então:
Exemplos
Todo conteúdo da postagem foi retirado...
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